ラミエルのパーフェクト数学

今回は、円周率に関してなるべくわかりやすくイロイロ書きたいと思っています。

円周率は、小学校で3.14と習った人も多いと思います。
これは、完璧な間違いです。円周率は、3.14159265358979…永遠に続く数なので、誤差が出てしまいます。
「そんなの、どーでもいいぢゃん」ってわけにはいかないんです。

最初は、0.0015くらいの誤差しかありません。

確かめてみましょう3.14を2倍してみてください。
3.14･2=6.28
2π =6.28…

「なんだ、かわらないじゃん」って思ったでしょ？実は違うんですよ！

3.14･2 =6.28
2π =6.2831…
3.1415･2=6.283

「めちゃくちゃ誤差少ないやん」って思った人！次に、２乗してみてください

3.14･3.14=9.8596
π･π= 9.8696…

誤差が大きくなりましたね！
ここで、例です。

半径が100�pの球があります。運動会でつかうのかな？

球の体積の求めかたは、

(4πr^3)/3 (r(ラジアン)は半径)

オイ、やばいじゃん、2を掛けるだけで0.0001も誤差があるんだよ！4000000も掛けたら、すごい誤差が出るって！

だから、中学生になるとギリシア文字のπ(パイ)をつかって誤差を無くそう、とするんです。


さて、円周率はすごい特徴があるんです！
「なに、誤差が？」
ちがうゎよく聞け、こういう特徴だ！♪ 〜男女〜
円周率の特徴を3つ紹介します。

１、円周率は無理数
２、円周率は超越数
３、最も美しい公式の一部

１は、分かりますよね。小数点以下が無限に続くんです。

２は、「ぱふ？何じゃそりゃ？」って人もいると思います。
簡単に説明すると、超越数とは、導き出す式がない数 です。
後の方に円周率を求める式を書いておきます。それを見ながら考えてください。
ウォリスの公式は
分子が(2･2･4･4･6･6･8…)分母が(1･3･3･5･5･7･7…)無限に続く式なんです。
ラマヌジャンの公式は
式の中に、Σ(k=1→∞)があります。
つまり、ヒトが円周率を求めることは無理に等しいんです。

３は、オイラーの等式です。

ｅ^iπ +1=0

これは、オイラーの公式

ｅ^iθ=cosθ+i sinθ

にθ=πを代入したものです。

ｅ^iπ=-1+i･0
ｅ^iπ=-1
ｅ^iπ+1=0

ちなみに、ｅはネイピア数、iは虚数です。また、いつか紹介します。

ｅをiπ乗するのに誤差があると、-1が出てこないですよね！

なので、意外と誤差をなくすことは大切なんです。



ここからは、πの公式を紹介します。

ラマヌジャンの公式

π=1÷{(2√2)/9801}Σ(n=0→∞)［{(4n)/(4^n)･(n!)}^4］･{(26390n+1103)/99^4n}


ウォリスの公式

π/2=(2･2･4･4･6･6･8･…)/(1･3･3･5･5･7･7･…)


マダヴァの公式

π/4=(1/1)-(1/3)+(1/5)-(1/7)+…


ゼータ関数などつかって解くのもアリです。


だけど、パソコンとか使わないと計算がむず過ぎて、収束するまえに心が折れますよ。
くれぐれも、無茶しないでね！？

by、翔洋のラミエル

命題：1+2+3+4+…=-1/12

これを見て、びっくりした人も中にはいると思います。
正直、僕も見たときビビりました！
今日は、これについてイロイロとぐだぐだと(ワラ)書いていきます。


まず、これは奨学金を打ち切られ大学に行けなくなったラマヌジャンがケンブリッジ大学のG.H.ハーディに宛てた手紙の中のひとつに書いてあったらしいです。

まぁ、まず数学好きの人でも理解してくれない人がいると思います。当たり前です。 だって本当は発散♪ 〜Don't say lazy〜

はい、分からなくなったらまず証明！

S=Σ(k=1→∞)k
T=Σ(k=1→∞)k･(-1)^(k+1)

T=Σ(k=1→∞)k -2Σ(k=1→∞)2k
=Σ(k=1→∞)k -4(Σ(k=1→∞)k)
=S-4S
=-3S

ここで、
x-x^2+x^3-x^4+x^5…=x/(1+x)
をxで微分して
1-2x+3x^2-4x^3+5x^4…=1/(1+x)^2
ここで、x=1とすると、
Σ(k=1→∞)k･(-1)^(k+1)=1/4
S=-1/3･T
=(-1/3)･(1/4)
=-1/12

したがって、
Σ(k=1→∞)k=-1/12
Q,E,D,(Quod Erat Demonstrandum)


ちゃんと読んだ人はこの証明、どこが間違ってるかわかりますよね？

答えは

-1＜x＜1でないと成り立たない！


だめぢゃん。って思った人もいると思います。でも、ちゃんとした証明があります。

最終兵器…

ゼータ関数！
ζ(s)=Σ(k=1→∞)k^(-s)
ゼータ関数は、複素平面の全域に解析接続されてます。なので、ζ(-1)の値もしっかり定義されてます。

ぢゃ証明

ζ(s)

=(2^s)･{π^(s-1)} sin (πs/2)･Γ(1-s)･ζ(1-s)
条件(s≠0，1)

まずs=-1を代入します。

ζ(-1)

=(2^-1)･{π^(-1-1)} sin (-1･π/2)･Γ{1-(-1)}･ζ{1-(-1)}

=(2^-1)･(π^-2) sin (-π/2)･Γ(2)･ζ(2)

ここで、

sin (-π/2)=-1

Γ(2)=(2-1)!=1!=1

ζ(2)=(π^2)/6

【ζ(2)「バーゼル問題」が(π^2)/6になるかは、また今度】

ζ(-1)

=(2^-1)･(π^-2)･(-1)･1･{(π^2)/6}

=(1/2)･{1/(π^2)}･(-1)･1･{(π^2)/6}

=-1/12

したがって、
1+2+3+4+…=-1/12
Q,E,D,


これを見てビックリしない人はいないと思います。

よく考えてみてください。正の数同士加算してるのにマイナスの値が出てきて、整数同士加算してるのに分数の値が出てきます！

僕は、これがきっかけとなり数学好きになりました。


最後に

これを見て数学好きまたは数学に興味を持つ人が増えたらいいな〜と思っています。

by.翔洋のラミエル